postulat

postulat, proposition mathématique admise sans démonstration, mais susceptible d’être éventuellement démontrée à partir d’axiomes, principes premiers non démontrés mais considérés comme évidents, vrais, universels et communs à tous les domaines mathématiques, et plus généralement à toutes les disciplines de la pensée.

Le raisonnement, fondé sur une déduction logique subséquente aux postulats et aux axiomes, permet de démontrer, par la suite, des énoncés mathématiques sous formes de théorèmes, en cohérence avec l’ensemble de la théorie développée.

Dans l’ouvrage les Éléments, rédigé par le savant grec Euclide au iii^e siècle av. J.-C., les postulats s’énonçaient sous forme de « demandes » (on demande que…) auxquelles devaient satisfaire certaines propriétés de la géométrie plane, alors que les axiomes étaient des notions communes à toute grandeur, tels que, par exemple, « le tout est plus grand que la partie » ou bien le principe d’identité selon lequel tout objet est égal à lui-même. Aujourd’hui, on ne fait plus cette distinction entre axiome et postulat, et l’emploi du terme postulat est délaissé au profit de celui d’axiome.

Outre les définitions qu’attribue Euclide aux objets mathématiques de la géométrie plane, l’ouvrage les Éléments regroupe les cinq postulats suivants, on demande :

• de pouvoir conduire une droite d’un point quelconque à un point quelconque ;
• de prolonger par continuité une droite finie en une droite ;
• de pouvoir décrire un cercle d’un point quelconque et avec un intervalle quelconque (c’est-à-dire avec une ouverture de compas quelconque) ;
• que tous les angles droits soient égaux entre eux ;
• que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux angles droits, ces droites prolongées à l’infini se rencontrent du côté où les angles sont plus petits que deux angles droits.

Les trois premiers postulent l’existence de la droite et du cercle. Le cinquième postulat, appelé encore postulat d’Euclide, est plus souvent énoncé sous la forme suivante : « par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite ». Pendant des siècles, ce postulat, dit encore postulat des parallèles, a fait l’objet de multiples tentatives de démonstration. L’insuccès de ces tentatives a abouti au xix^e siècle, à la remise en cause de l’universalité de ce postulat et à l’élaboration de la géométrie non euclidienne.