multiplication (mathématiques)

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Présentation

multiplication (mathématiques), opération élémentaire de l’arithmétique, symbolisée par le signe × (« fois »). On utilise parfois un point à la place de ce signe ou, dans certains cas, des parenthèses. Ainsi, le produit de 3 par 4 peut être représenté par 3 × 4, 3.4 ou encore (3)(4).

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Propriétés

La multiplication est une opération commutative et associative. Pour tous nombres x, y et z, on a, en effet, les égalités suivantes :

• x × y = y × x, relation qui traduit la commutativité de la multiplication ;
• (x × y) × z = x × (y × z), relation qui traduit l’associativité de la multiplication.

Par ailleurs, la multiplication est distributive par rapport à l’addition. En effet, pour tous nombres x, y et z, on a :

• x × (y + z) = (x × y) + (x × z)
• 1 est appelé élément neutre de la multiplication, puisque, pour tout nombre y, y × 1 = y ;
• 0 est appelé élément absorbant de la multiplication, puisque, pour tout nombre y, y × 0 = 0.

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Multiplication d’entiers naturels

3.1

Table de multiplication

On peut assimiler la multiplication d’entiers naturels, appelés aussi nombres entiers, à une addition répétée. Par exemple, l’expression 3 × 4 correspond à l’addition de 3 termes égaux à 4 (4 + 4 + 4), ce qui, puisque la multiplication est commutative, est équivalent à l’addition de 4 termes égaux à 3 (3 + 3 + 3 + 3). Cependant, pour de grands nombres, une telle démarche s’avérant fastidieuse, on applique les règles de la multiplication qui supposent d’avoir mémoriser les résultats des combinaisons les plus simples, c’est-à-dire les multiples de base des entiers compris entre 0 et 9, illustrés par la table de multiplication suivante :

Pour déterminer le produit de deux chiffres quelconques, on repère tout d’abord le premier des chiffres situés dans la colonne de gauche de la table, puis le second chiffre dans la rangée horizontale du haut. Leur produit correspond alors au nombre se trouvant à l’intersection de la colonne et de la rangée considérées.

3.2

Multiplication manuelle

Pour multiplier deux nombres entiers, on aligne leurs unités, dizaines, centaines, etc., comme dans l’exemple suivant :

Chaque chiffre du multiplicande est ensuite multiplié par le multiplicateur, qui est égal à 4 dans ce cas précis. On additionne alors tous les résultats de ces multiplications, obtenant ainsi le produit désiré. Par conséquent, on peut écrire :

Toutefois, on peut raccourcir l’opération en effectuant des retenues pour les dizaines et les centaines, comme pour l’addition. Reprenons l’exemple ci-dessus. Tout d’abord, on multiplie le chiffre des unités par le multiplicateur, soit 6 par 4 qui font 24. On écrit alors le chiffre 4 dans le rang des unités du produit, tandis que le chiffre 2, qui signifie 2 dizaines, soit 20, fait l’objet d’une retenue. On écrit donc :

Ensuite, on multiplie le chiffre des dizaines par le multiplicateur, soit 8 par 4 qui font 32, auxquels on ajoute le 2 de la retenue, obtenant donc 34. Le chiffre 4 est noté dans l’espace réservé aux dizaines, tandis que le chiffre 3 (qui correspond à 3 centaines) est mis en retenue au-dessus de la colonne des centaines. Enfin, on multiplie le chiffre des centaines par le multiplicateur, soit 3 par 4 qui font 12, chiffre auquel on ajoute le 3 de la retenue, obtenant ainsi 15. La multiplication manuelle de 386 par 4 peut donc s’écrire :