infinitésimal, calcul

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Présentation

infinitésimal, calcul, branche des mathématiques recouvrant le calcul différentiel et le calcul intégral.

Le calcul différentiel étudie les propriétés locales des fonctions pour des variations infiniment petites des variables, tandis que le calcul intégral s’intéresse au calcul des primitives et intégrales, ainsi qu’à la résolution d’équations différentielles. Le calcul infinitésimal est d’une importance fondamentale dans la plupart des domaines de la science.

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Historique

2.1

Origines

Le calcul infinitésimal est issu de la géométrie grecque de l’Antiquité. Au V^e siècle av. J.-C., Démocrite calcule ainsi les volumes des pyramides et des cônes en considérant ces solides composés d’un nombre infini de coupes transversales d’épaisseur infinitésimale (infiniment petite). De même, Eudoxe de Cnide et Archimède emploient la méthode d’exhaustion pour déterminer l’aire d’un disque, en l’approchant par des polygones inscrits et circonscrits. Toutefois, les Grecs ne font qu’effleurer la théorie du calcul infinitésimal, freinés par les paradoxes de Zénon d’Élée et les problèmes que posent les nombres irrationnels.

2.2

Théories du XVIIe siècle

Ces recherches ne sont reprises qu’au début du XVII^e siècle, tout d’abord par le jésuite et mathématicien italien Cavalieri. Ce dernier étend l’usage des quantités infinitésimales en élaborant sa théorie des indivisibles, qui considère une surface comme constituée d’un nombre infini de lignes parallèles à une direction, appelées indivisibles de la surface. Mesurer l’aire de cette surface consiste donc à effectuer la somme de ces indivisibles. En France, Fermat puis Descartes ont recours à la géométrie analytique pour déterminer des aires et des tangentes à une courbe. Fermat invente notamment une méthode pour déterminer les maxima et minima de certaines fonctions : sans le savoir, il manipule ainsi le concept de limite qui ne sera défini qu’au XIX^e siècle. De son côté, le mathématicien et théologien anglais Barrow établit le lien entre le problème des tangentes et le problème inverse du calcul des aires, montrant que ces deux procédés sont intimement liés.

Mais les véritables fondateurs du calcul infinitésimal moderne demeurent Newton et Leibniz, qui, dans les années 1660 et 1670, démontrent notamment le théorème fondamental stipulant qu’intégration et dérivation sont des opérations inverses. Le développement des techniques de calcul par Newton, inspirées par ses travaux en physique, précède en fait les résultats de Leibniz, mais Newton tarde à publier ses conclusions. Finalement, ce sont les notations de Leibniz qui sont adoptées, comme les symboles ∫ pour les intégrales et df/dx pour les dérivées.

2.3

Rigueur au XIXe siècle

Le XVIII^e siècle voit s’élargir le champ d’application du calcul différentiel et intégral. Cependant, en raison d’une utilisation imprécise des quantités infinies et infinitésimales, et du recours à l’intuition en géométrie, confusion et polémiques règnent encore au sujet des fondements de ce calcul. Ce n’est qu’au XIX^e siècle que les analystes remplacent ces vagues concepts par des notions solides et rigoureuses, fondées sur des quantités finies. Bolzano et Cauchy définissent ainsi avec précision les limites et les intégrales ; Riemann développe ensuite une théorie de l’intégration plus générale que celle de Cauchy. En 1874, Weierstrass construit à partir de séries particulières une fonction continue mais dérivable en aucun point, prouvant ainsi que si les fonctions dérivables sont continues, la réciproque se révèle fausse. Au XX^e siècle, les progrès de l’analyse légitiment complètement les quantités infinitésimales.

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Calcul différentiel