géométrie

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Présentation

géométrie, branche des mathématiques qui étudie les propriétés du plan et de l’espace. La géométrie s’intéresse aux relations entre les points, les droites, les plans, les courbes, les surfaces et les volumes.

Sous sa forme la plus élémentaire, elle traite de simples problèmes métriques, comme la détermination d’aires et de volumes de figures planes ou de solides (voir géométrie plane ; géométrie dans l’espace). Mais elle étudie aussi des problèmes bien plus complexes, dans le cadre de ses diverses disciplines : la géométrie analytique, la topologie, la géométrie fractale, la géométrie projective ou encore la géométrie non euclidienne.

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Origines de la géométrie

La géométrie naît des préoccupations des Égyptiens et des Babyloniens, qui désirent connaître avec précision les dimensions et la grandeur de leurs champs et édifier des bâtiments à angles rigoureusement droits. Au vi^e siècle av. J.-C., le mathématicien grec Pythagore pose la première pierre de la géométrie classique, en montrant que les lois qui la régissent peuvent être démontrées à partir d’un certain nombre d’axiomes et de postulats. Au iii^e siècle av. J.-C., Euclide réalise une première synthèse de la géométrie dans son ouvrage les Éléments. Il y donne une définition des entités géométriques (points, droites, surfaces, angles, etc.), y énonce des axiomes (par exemple, « deux grandeurs égales à une troisième sont égales entre elles ») et des postulats, le plus fameux demeurant celui des droites parallèles. Euclide postule en effet que par un point situé en dehors d’une droite ne passe qu’une droite et une seule parallèle à la première. Ce postulat qu’on essaiera longtemps en vain de démontrer est d’ailleurs à l’origine de la géométrie dite euclidienne, en opposition avec les géométries non euclidiennes, élaborées vingt-deux siècles plus tard.

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Géométrie démonstrative

Ce sont sur les axiomes et postulats énoncés par Euclide que reposent toutes les démonstrations des théorèmes relatifs à la géométrie. Ainsi, le théorème de Pythagore, qui stipule que « dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés », découle de ces axiomes et postulats, tout comme le théorème affirmant que « dans un triangle quelconque, la somme des trois angles internes est égale à la somme de deux angles droits ». La géométrie pratiquée par les Grecs est dite démonstrative : beaucoup plus qu’un travail de dessin, elle est fondée sur une utilisation particulière du langage où la discussion permet la confrontation d’arguments dans le but de démontrer un théorème. À l’aide de cette géométrie, les Grecs ont étudié principalement les polygones, les cercles et les figures tridimensionnelles correspondantes (voir polyèdre).

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Premiers problèmes géométriques

Les Grecs sont les premiers à poser des problèmes proposant de construire une figure géométrique avec pour seuls instruments une règle non graduée et un compas. Par exemple, ils ont étudié la construction, à l’aide de ces deux instruments, d’un segment deux fois plus long qu’un premier fixé, ou le tracé d’une droite divisant un angle donné en deux angles égaux. Le mathématicien grec Apollonios de Perga s’intéresse notamment à de nombreux problèmes de construction dans le plan, mais également dans l’espace : il étudie la famille des courbes appelées coniques, découvrant à leur sujet un grand nombre de propriétés fondamentales. Ces courbes se révéleront être d’une grande importance dans de nombreux domaines de la physique, en particulier en astronomie (voir orbite).

Trois célèbres problèmes de construction (avec la règle et le compas) datant de cette époque ont résisté pendant de nombreux siècles aux efforts des mathématiciens : construire un cube dont le volume est le double d’un cube donné, diviser un angle donné en trois parties égales, et — le plus fameux d’entre eux — construire un carré d’aire égale à celle d’un cercle donné (quadrature du cercle). Aujourd’hui, on sait qu’aucune de ces constructions n’est possible au moyen d’une règle et d’un compas. La quadrature du cercle a fait pour sa part l’objet de milliers de mémoires ; son impossibilité n’a été démontrée qu’en 1882 par le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann.