vecteur (mathématiques)

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Présentation

vecteur (mathématiques), objet mathématique caractérisé par une norme, une direction et un sens. Les vecteurs sont aussi les éléments d’un ensemble appelé espace vectoriel, notion qui est à la base de l’algèbre linéaire.

Dans le plan et dans l’espace à 3 dimensions, on représente généralement un vecteur par une flèche. Cette flèche se présente sous la forme d’un segment de droite, dont la longueur est égale à la norme du vecteur. L’origine de la flèche se confond avec le point d’application du vecteur, tandis que le sens de la flèche indique le sens du vecteur.

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Relation de Chasles

Malgré son extrême simplicité, la relation de Chasles est fondamentale en algèbre linéaire. Elle est valable quel que soit l’espace vectoriel considéré. Pour tout triplet de points (A, B, C), on peut écrire :

Un exemple simple illustrant cette relation dans le plan est donné par la détermination de la trajectoire d’un navire. Sur le diagramme ci-dessous, le vecteur A indique le déplacement du bateau en l’absence de tout courant pendant une durée t. Le vecteur $ correspond à la dérive due au courant pendant t. Le trajet réel du navire est alors représenté par le vecteur B. Pour obtenir ce dernier vecteur, on a effectué la somme des vecteurs A et $, en appliquant la relation de Chasles.

Dans des cas plus complexes, les problèmes d’addition et de soustraction vectorielles peuvent être résolus au moyen de la trigonométrie. On les rencontre fréquemment en navigation, ainsi qu’en mécanique et en électricité.

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Coordonnées d’un vecteur

Dans l’espace à 3 dimensions, muni d’un système de coordonnées cartésiennes, un vecteur est entièrement déterminé par ses trois coordonnées. Soient et deux vecteurs de l’espace, ayant pour coordonnées les triplets (u₁, u₂, u₃) et (v₁, v₂, v₃). Alors, le vecteur   +  est défini par le triplet (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃). Le produit d’un vecteur  par un réel a est le vecteur a. , défini par le triplet (a.u₁, a.u₂, a.u₃). Dans le plan, un vecteur est déterminé de manière similaire par ses deux coordonnées x et y.

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Vecteurs colinéaires et orthogonaux

Deux vecteurs  et sont dits colinéaires s’ils ont même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel λ tel que  = λ. . Ainsi, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires si leurs directions sont orthogonales. Deux droites sont perpendiculaires entre elles si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.