complexes, nombres

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Présentation

complexes, nombres, nombres de la forme x + iy, où x et y sont des nombres réels, et i un « nombre imaginaire » tel que i² = - 1.

Les nombres complexes, qui interviennent dans presque tous les domaines des mathématiques, sont également très employés en physique, notamment dans l’étude des circuits électriques et des ondes électromagnétiques (voir électromagnétique, rayonnement).

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Historique

Les nombres complexes sont issus de l’étude d’équations du type x² = - 1, qui n’admettent pas de solutions en nombres réels. Au xvi^e siècle, Jérôme Cardan et ses confrères italiens découvrent que des solutions réelles d’équations peuvent faire intervenir des racines carrées de nombres négatifs. Par exemple, le nombre réel 40 peut s’exprimer sous la forme de (5 + √- 15) (5 - √- 15). Ces racines carrées de nombres négatifs, que Descartes nomme « racines imaginaires », sont utilisées par la plupart des mathématiciens du xvi^e siècle. En 1722, le Britannique Abraham de Moivre découvre la formule qui porte depuis son nom :

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx

Cette relation, qui relie fonction exponentielle et fonctions trigonométriques, est à rapprocher des formules établies par Euler au XVIII^e siècle :

cos x = 1/2 (eix + e-ix)

sin x = 1/2i (eix - e-ix)

De ces formules découle la célèbre identité e^ip = - 1, qui relie trois nombres fondamentaux en mathématiques.

C’est à l’aide des nombres complexes que Gauss, dans sa thèse de doctorat parue en 1799, donne la première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre, selon lequel tout polynôme de degré n possède exactement n racines, non nécessairement distinctes. Il est également le premier à établir la correspondance entre les nombres complexes et les points du plan. Cauchy poursuit l’étude des nombres complexes en introduisant les fonctions à une variable complexe en 1814. Les nombres complexes ont de nombreuses applications en physique ; le nombre i apparaît ainsi de manière explicite dans l’équation fondamentale de Schrödinger qui décrit la nature ondulatoire des particules (voir quantique, théorie).

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Opérations sur les complexes

Tout élément z de l’ensemble  des nombres complexes s’écrit de manière unique : z = x + iy, où x est la partie réelle du nombre complexe et y sa partie imaginaire. Un nombre imaginaire ne possède pas de partie réelle, il s’écrit donc sous la forme z = iy.

L’addition des nombres complexes s’effectue en ajoutant séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Ainsi, pour ajouter 1 + 4i à 2 - 2i, il faut ajouter les parties réelles 1 et 2, et les parties imaginaires 4i et - 2i. On obtient ainsi le nombre complexe 3 + 2i. La règle générale pour l’addition est donc la suivante :

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + (b + d)i

La multiplication des nombres complexes est fondée sur la relation i.i = - 1 et sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. Par conséquent, la règle générale pour la multiplication est la suivante :

(a + ib) (c + id) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Ainsi,

(1 + 4i) (2 - 2i) = 10 + 6i

On démontre que l’ensemble des nombres complexes, muni des lois d’addition et de multiplication, est un corps (voir arithmétique).

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Module et conjugué

Soit un nombre complexe z = x + iy. On appelle module de z le réel noté |z| tel que |z| = √(x² + y²). On nomme conjugué de z le complexe de symbole  tel que  = x - iy. Par exemple, le module de 1 + 4i est : √(1² + 4²) = √17 et son conjugué est 1 - 4i.

Il faut noter qu’un nombre complexe z et son conjugué sont reliés par la relation z.  = |z|².

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Représentation dans le plan