fonctions (mathématiques)

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Présentation

fonctions (mathématiques), en mathématiques, correspondances entre un ensemble A et un ensemble B, qui à tout élément de A associent au plus un élément de B.

Par exemple, la relation qui à tout entier associe son carré est une fonction de dans . Par extension, on peut également définir des fonctions de plusieurs variables, telles que la relation qui au triplet de réels (x, y, z) associe le produit xyz. Dans la suite de cet article, on ne s’intéressera qu’aux fonctions d’une variable.

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Historique

Le terme de fonction est utilisé pour la première fois en 1637 par Descartes pour désigner une puissance xⁿ d’une variable x (voir Exposant). Puis, en 1694, Leibniz applique ce terme à différentes caractéristiques d’une courbe. Mais c’est Dirichlet qui a le premier énoncé le concept de fonction dans son sens moderne de correspondance. Il conçoit une fonction y comme une variable dépendante, dont les valeurs sont fixées ou définies par les valeurs assignées à la variable indépendante x ou à plusieurs variables indépendantes x₁, x₂, …, x_n. Enfin, au XIX^e siècle, l’apparition de la théorie des ensembles élargit la notion de fonction et l’étend vers celle d’application.

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Définition et notation

La notion de fonction est souvent confondue avec celle d’application. Cependant, à la différence d’une application, tous les éléments de l’ensemble de départ d’une fonction n’ont pas forcément d’image dans l’ensemble d’arrivée. Par exemple, la correspondance qui associe à un nombre son carré est une application ; en revanche, celle qui associe à un nombre son inverse n’est pas une application car 0 n’a pas d’image.

Soit f une fonction d’un ensemble A vers un ensemble B. On note alors :

Il ne faut pas confondre la fonction f avec la valeur f(x) prise en x par la fonction f.

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Opérations sur les fonctions

Soient f et g deux fonctions d’un ensemble A vers un ensemble B. On peut alors définir la fonction somme f + g, qui à tout élément x de A associe l’élément (f + g) (x) = f(x) + g(x).

De même, il est possible de définir la fonction produit ainsi que la fonction quotient de deux fonctions f et g (dans le dernier cas, sous réserve que g(x) soit non nul).

Si, pour tout x de A, f(x) appartient à A, on peut également définir la composée de f suivie de g, notée g o f, telle que pour tout x de A (g o f) (x) = g(f(x)).