espace-temps

espace-temps, système de coordonnées comprenant trois coordonnées spatiales et une coordonnée temporelle, utilisé dans la théorie de la relativité.

D’après le principe de relativité énoncé par Albert Einstein, toutes les lois de la nature sont identiques dans tous les référentiels d’inertie. Cependant, on ne peut définir la simultanéité de deux événements sans définir dans quel référentiel ils sont observés. Ceci résulte du fait que la vitesse de la lumière (c = 3.10⁸ m.s^-1) est une constante universelle. En effet, considérons deux référentiels K et K’ d’axes respectifs (x, y, z) et (x’, y’, z’) se déplaçant l’un par rapport à l’autre avec une vitesse de translation V constante et parallèle aux axes x et x’ (voir figure ci-contre).

Si l’on émet deux signaux lumineux dans deux directions opposées depuis un point A dans le référentiel K’, alors les deux signaux arriveront simultanément aux points B et C équidistants de A. On peut aisément vérifier que ceci n’est pas vrai dans le référentiel K : en effet, la lumière émise en A se déplace à la même vitesse dans les deux directions, mais le point B se déplace vers le signal alors que le point C s’en éloigne. Donc dans le référentiel K le signal arrive plus tôt en B qu’en C.

Ainsi, la simultanéité de deux événements n’est pas conservée lors d’un changement de référentiel. Par contre, si l'on repère deux événements par les coordonnées spatiales (x, y, z) et temporelle t, on peut définir par la quantité s₁₂, l’intervalle entre deux événements tel que :

s12 = [c2(t2 - t1)2 -(x2 - x1)2 - (y2 - y1)2 - (z2 - z1)2]1/2

Cette quantité est indépendante du référentiel, ce qui veut dire qu’elle est invariante par rapport à la transformation d’un référentiel d'inertie à un autre.

Ces considérations justifient l’emploi d'un système de coordonnées à quatre composantes, trois pour l’espace et une pour le temps. On remarque toutefois que l’espace-temps ainsi défini n’obéit pas à la géométrie euclidienne usuelle, puisque les intervalles font intervenir les carrés des coordonnées comme différence alors que dans l’espace usuel les distances sont formées à partir de somme des carrés des coordonnées :

d12 = [(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2]1/2

De l’invariance de l'intervalle dans l’espace-temps découle les lois de transformation des coordonnées d’espace, du temps et de la vitesse de la relativité restreinte (transformation de Lorentz).