carré magique

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Présentation

carré magique, tableau de nombres distincts rangés dans un carré, de telle sorte que les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale principale soient égales à un même nombre. Par exemple, le tableau carré ci-dessous est un carré magique d’ordre 3 (l’ordre est le nombre de lignes ou de colonnes), dont la somme constante est 15.

Considérés dans l’Antiquité comme des talismans, les carrés magiques ont intéressé les plus grands mathématiciens de notre temps.

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Caractéristiques

Les nombres d’un carré magique d’ordre n sont en général les n² premiers entiers (voir nombres). Comme la somme de 1, 2, 3, …, n² est n²(n² + 1) / 2, on en déduit que la somme S de chacune des n lignes, de chacune des n colonnes ou de chacune des deux diagonales principales d’un carré magique est :

Ce nombre est appelé la constante du carré magique. Dans certains carrés magiques, la somme des diagonales secondaires opposées est aussi égale à la constante du carré magique. Ce n’est pas le cas du carré magique d’ordre 3 vu plus haut ; en revanche, le carré magique d’ordre 4 ci-dessous, dont les diagonales secondaires sont (12, 8 ; 5, 9) et (10, 6 ; 7, 11), la vérifie :

Un carré magique est dit doublement magique s’il reste un carré magique lorsque chaque élément est remplacé par son carré ; il est triplement magique s’il reste magique lorsque chaque élément est remplacé par son carré ou par son cube.

Un carré magique formé des éléments 1, 2, …, n² existe pour tout ordre n, hormis pour n = 2. Cependant, on ne connaît pas à ce jour de règle générale permettant de construire tous les carrés magiques, tout comme on ne sait pas combien il existe de carrés magiques pour chaque ordre n. Des règles de construction ont tout de même été mises au point pour certains carrés magiques particuliers. Les cubes magiques et autres figures géométriques magiques ont également fait l’objet d’études.

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Carré latin

Le carré latin, parent éloigné du carré magique, est un carré ayant pour éléments toute suite de n nombres distincts, chacun de ces nombres figurant n fois, et placés de telle sorte que les nombres de toute ligne ou de toute colonne soient distincts. Ainsi, les deux carrés ci-dessous sont des carrés latins.

Si l’on superpose le second au premier, tout en conservant le même ordre, on obtient alors un carré formé de paires distinctes :

Un tel carré est appelé carré eulérien, en référence au mathématicien suisse Leonhard Euler.